60 % des élèves de terminale bloquent sur la fonction exponentielle — non pas par manque de logique, mais parce qu’on ne leur a jamais dit clairement ce qu’elle est avant de leur en montrer les formules. Partons donc de zéro : une définition nette, des propriétés utiles, une courbe lisible.
La fonction exponentielle est l’une des fonctions les plus présentes en mathématiques, en physique, en biologie, en finance. Comprendre sa définition, c’est débloquer une grande partie du raisonnement sur la croissance, la décroissance et les équations différentielles. Voici tout ce qu’il faut savoir, sans détour.
Définition de la fonction exponentielle
Qu’est-ce que exp(x) ?
La fonction exponentielle, notée exp ou ex, est la fonction définie sur ℝ qui est égale à sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0. C’est cette double condition qui la définit de manière unique.
Formellement : exp est l’unique fonction f définie sur ℝ telle que :
- f'(x) = f(x) pour tout x ∈ ℝ
- f(0) = 1
Cette définition peut sembler abstraite, mais elle dit quelque chose de très concret : à chaque instant, la vitesse de variation de la fonction est égale à sa valeur courante. C’est exactement ce qui se passe dans une population bactérienne qui double à intervalle régulier, ou dans un capital placé à intérêt continu.
💡 Notre conseil
Retenez d’abord la propriété f’ = f. Tout le reste (formules, courbe, limites) découle de cette seule condition. Si vous partez de là, les propriétés algébriques ne seront plus à mémoriser — vous pourrez les retrouver.
Le nombre e
La valeur exp(1) est notée e. C’est un nombre irrationnel, dont la valeur approchée est :
e ≈ 2,71828182845…
On peut écrire exp(x) = ex pour tout réel x. Cette notation est cohérente avec les puissances entières : exp(2) = e², exp(3) = e³, et ainsi de suite. Pour les exposants réels (fractions, irrationnels), c’est la définition via la fonction exponentielle elle-même qui donne un sens rigoureux à l’écriture ex.
e ≈ 2,718
valeur approchée du nombre e, base de la fonction exponentielle
Propriétés algébriques fondamentales
Règles de calcul avec les puissances
La fonction exponentielle respecte les mêmes règles que les puissances classiques. Pour tous réels a et b :
- exp(a + b) = exp(a) × exp(b)
- exp(a − b) = exp(a) / exp(b)
- exp(−a) = 1 / exp(a)
- exp(n × a) = [exp(a)]n pour tout entier n
Ces règles s’étendent à tous les réels, pas seulement aux entiers. C’est précisément là que la fonction exponentielle généralise les puissances : elle donne un sens à e0,5 ou à e√2.
Valeurs remarquables
| x | exp(x) | Valeur approchée |
|---|---|---|
| −∞ | 0 (limite) | → 0⁺ |
| −1 | e⁻¹ = 1/e | ≈ 0,368 |
| 0 | 1 | = 1 |
| 1 | e | ≈ 2,718 |
| 2 | e² | ≈ 7,389 |
| +∞ | +∞ (limite) | → +∞ |
⚠️ Limites et comportement aux bornes
Limites en +∞ et −∞
Deux limites à connaître absolument :
- limx→+∞ exp(x) = +∞ : la croissance est sans plafond
- limx→−∞ exp(x) = 0 : la courbe s’approche de l’axe des abscisses sans jamais le toucher
La deuxième limite est souvent mal comprise. exp(x) reste strictement positif pour tout réel x — jamais nul, jamais négatif. L’axe des abscisses est une asymptote horizontale, pas une valeur atteinte.
Croissances comparées
Un résultat très utilisé en terminale : l’exponentielle l’emporte toujours sur les puissances de x, quelle que soit la puissance considérée. Pour tout entier n ≥ 1 :
- limx→+∞ exp(x) / xn = +∞
- limx→+∞ xn × exp(−x) = 0
En pratique : si vous avez un produit x³ × e−x en +∞, c’est l’exponentielle décroissante qui écrase le polynôme. Cela sert dans les études de fonctions et dans les intégrales impropres.
⚠️ À garder en tête
Une erreur classique : écrire exp(x) = 0 pour x très négatif. C’est faux. exp(x) tend vers 0 mais ne l’atteint jamais. La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ, sans exception.
La dérivée de la fonction exponentielle
Dérivée de exp(x)
C’est la propriété la plus remarquable : [exp(x)]’ = exp(x). La dérivée est égale à la fonction elle-même. C’est même la définition de départ.
Cette propriété a une conséquence directe : exp est croissante sur ℝ entier, car sa dérivée est toujours strictement positive.
Dérivée de exp(u) — forme composée
Quand u est une fonction dérivable de x, la règle de composition donne :
[exp(u(x))]’ = u'(x) × exp(u(x))
Exemples concrets :
- [exp(3x)]’ = 3 × exp(3x)
- [exp(x²)]’ = 2x × exp(x²)
- [exp(−x)]’ = −exp(−x)
Ce mécanisme est à la base des équations différentielles du type y’ = ky, omniprésentes en physique (désintégration radioactive, charge d’un condensateur) et en modélisation de la Bien Être des populations.
✅ À retenir
La dérivée de exp(u) se calcule en deux temps : dériver u, puis multiplier par exp(u). Pas d’exception, pas de cas particulier — la règle est universelle dès que u est dérivable.
La courbe représentative
Allure générale
La courbe de exp(x) passe par le point (0 ; 1) — puisque exp(0) = 1 — et par (1 ; e) ≈ (1 ; 2,718). Elle est :
- strictement croissante sur ℝ
- toujours au-dessus de l’axe des abscisses
- convexe (concave vers le haut) en tout point, car exp »(x) = exp(x) > 0
- asymptote à l’axe des abscisses à gauche (en −∞)
La tangente en (0 ; 1) a pour coefficient directeur exp'(0) = 1, soit une pente à 45°. C’est une façon visuelle de vérifier la cohérence : la droite y = x + 1 est tangente à la courbe en ce point.
Comparaison avec exp(−x)
La courbe de exp(−x) est le symétrique de celle de exp(x) par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est décroissante, tend vers +∞ en −∞ et vers 0 en +∞. Ces deux courbes apparaissent souvent ensemble dans les exercices de terminale, notamment pour étudier les fonctions hyperboliques ou les signaux physiques amortis.
« La croissance exponentielle est la seule croissance qui « se nourrit d’elle-même » : plus la valeur est grande, plus l’accroissement est grand. »
— Principe fondamental de la modélisation mathématique des phénomènes naturels
🎯 Équations et inéquations avec l’exponentielle
Résoudre une équation du type exp(f(x)) = exp(g(x))
La fonction exponentielle est injective (deux valeurs distinctes donnent deux images distinctes). Donc :
exp(f(x)) = exp(g(x)) ⟺ f(x) = g(x)
C’est simple, mais attention : cette équivalence ne s’applique que si les deux membres sont bien sous forme exp(…).
Résoudre une inéquation avec l’exponentielle
Puisque exp est strictement croissante :
- exp(f(x)) > exp(g(x)) ⟺ f(x) > g(x)
- exp(f(x)) < exp(g(x)) ⟺ f(x) < g(x)
Le sens de l’inégalité est conservé, contrairement à ce qui se passe avec le logarithme en base inférieure à 1. Ce point fait souvent l’objet d’exercices corrigés en terminale — il faut juste se souvenir que exp est croissante.
La fonction exponentielle s’invite aussi dans des domaines très éloignés des salles de classe. La diffusion virale d’un contenu sur les réseaux, analysée notamment dans des articles comme Pop Culture : Définition, Origines et Influence Sociétale, suit des modèles de croissance qui obéissent aux mêmes lois mathématiques.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre ex et exp(x) ?
Les notations ex et exp(x) désignent exactement la même fonction. La notation exp(x) est préférable en cours car elle évite toute ambiguïté sur la définition de ex pour des exposants réels non entiers. ex n’a de sens rigoureux que grâce à la fonction exponentielle elle-même.
Est-ce que exp(x) peut être négatif ou nul ?
Non. La fonction exponentielle est strictement positive sur tout ℝ : exp(x) > 0 pour tout réel x, sans exception. Elle tend vers 0 en −∞ mais ne l’atteint jamais. Il n’existe aucun réel x tel que exp(x) = 0 ou exp(x) < 0.
Comment calculer la dérivée de exp(2x + 1) ?
On applique la règle de dérivation des fonctions composées : si u(x) = 2x + 1, alors u'(x) = 2. La dérivée de exp(u(x)) est u'(x) × exp(u(x)), soit 2 × exp(2x + 1). Le résultat est donc 2·exp(2x + 1).
Pourquoi dit-on qu’une croissance est « exponentielle » dans la vie courante ?
Dans le langage courant, « croissance exponentielle » désigne une augmentation très rapide qui s’emballe d’elle-même. Mathématiquement, cela correspond au modèle y(t) = y₀ × e^(kt) avec k > 0 : la variation est proportionnelle à la valeur courante, ce qui génère une accélération permanente. La propagation d’une épidémie en phase initiale ou les intérêts composés en sont des exemples réels.
Quelle est la relation entre la fonction exponentielle et le logarithme ?
La fonction logarithme naturel (ln) est la fonction réciproque de l’exponentielle : ln(exp(x)) = x pour tout réel x, et exp(ln(x)) = x pour tout réel x > 0. Les deux fonctions se « défont » mutuellement, ce qui permet de résoudre des équations du type exp(x) = 5 en appliquant ln des deux côtés : x = ln(5).
